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前言

今天看玩机器解说，刚看完精彩的小蜜蜂 v.s. G2，然后他在看电影《D.P.逃兵追缉令》，里面涉及到了一个三门问题，想了想感觉很有趣，于是乎记录了下来。

正文

1. 问题描述

直接摘录来自百度百科，问题是这样的：

大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，具体操作是：

参赛者优先选定了一扇门，但未去开启它的时候
节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊
随后主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门，还是继续自己的选择

这个问题有意思在于它非常地反直觉，因为一般人认为主持人打开了门，与你没有什么关系，你选了什么依旧还是1/3，你选什么还是不会变的。但是事实上，并不是这样的，事实就是你如果不换门，你获得车的概率仍是1/3，但是如果你换了门，你获得车的概率将会是2/3。

2. 问题解释（直观）

解题思路来自于YouTube的李永乐老师，我们来解答一下：

如果你不换门：主持人的行动并不会对你有任何的影响，你的概率依旧是1/3；但是如果你换门的话，我们来看看会是什么样的结果：

如果你现在指的门是羊，这个时候如果主持人打开门里面也是羊，那么你换门必得车，此概率是2/3
如果你现在指的门是车，这个时候如果主持人打开门里面是羊，那么你换门必得羊，此概率是1/3

答案很明显，确实换门之后，获奖的概率是2/3；但是为什么会是这样的呢？其实这里面我们忽略了很明显的一点，那就是主持人是知道里面有什么的，而且必开一个有羊的门，（用比较中二的话来说就是，一个全知全能的人打破了原本的游戏规则。）而全知全能的人透露出来的信息，就改变了原本的概率。相当于主持人给我们提前排除了一个错误的选项。

这告诉了我们一个结论：概率存在于被给予的条件下，概率不能寄托在实际的物体上。

看到一个很通俗易懂的解释：理论是只要第一次拿到10元，那么交换就必然是100，而第一次拿10元的概率就是3分之2。其实这个问题就是，如果你第一次选到了10元，那么交换必定获得100元，如果你第一次选到了100元，那么交换必定获得10元。然后第一次选择到10元的概率是 \frac{2}{3}，然而第一次选择到100元的概率是 \frac{1}{3}。

3. 问题解释（推理）

3.1 问题描述

三门问题（Monty Hall problem）是一个经典的概率谜题，基于一个电视游戏节目场景。以下是其条件概率的数学解释：

有三扇门，背后分别是一辆车和两只山羊（奖品随机分布）。
参赛者先选择一扇门（比如门1）。
主持人（知道门后情况）会打开另一扇门（比如门3），露出山羊。
然后主持人问：你是否要换到剩下的未开门（门2）？

关键问题：换门是否会增加赢得汽车的概率？

3.2 条件概率分析

定义事件：

C_i：车在门i后（i=1,2,3）
M_j：主持人打开门j（露出山羊）

假设参赛者初始选择门1，主持人打开了门3（露出山羊），那么我们需要计算：

不换门（坚持门1）的赢车概率：P(C_1 | M_3)
换门（到门2）的赢车概率：P(C_2|M_3)

先验概率：

初始车的位置均匀随机：

P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\frac{1}{3}

主持人行为：

主持人必须打开一扇有山羊的门（不能打开参赛者选择的门，也不能打开有车的门）。因此：

如果车在门1后（参赛者选对了），主持人可以随机打开门2或门3（概率各1/2）。
如果车在门2后，主持人只能打开门3（因为不能开门1和门2）。
如果车在门3后，主持人只能打开门2。

所以：

P(M_3∣C_1)=\frac{1}{2}(车在1后，主持人随机开2或3)

P(M_3∣C_2)=1(车在2后，只能开3)

P(M_3∣C_3)=0(车在3后，不能开3)

计算后验概率（给定主持人打开了门3）：

使用贝叶斯定理：

P(C_i|M_3) = \frac{P(M_3|C_i)P(C_i)}{P(M_3)}

首先计算边缘概率 P(M_3)：

P(M_3)=P(M_3|C_1)P(C_1)+P(M_3|C_2)P(C_2) + P(M_3|C_3) = (\frac{1}{2})(\frac{1}{3})+ (1)(\frac{1}{3})+(0)(\frac{1}{3})=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+0=\frac{1}{2}

然后：